Подмножества

Говорят, что множество $A$ является подмножеством множества $B$, если любой элемент множества $A$ является элементов множества $B$.

$$\begin{gathered} A\subseteq B \\ \iff \\ \forall a\in A\Rightarrow a\in B \end{gathered}$$

Множество $B$ называют надмножеством множества $A$.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

$$\varnothing \subseteq A$$

Строгое и нестрогое подмножество

Показанное выше подмножество может являться равным своему надмножеству. Такое подмножество называется нестрогим или просто подмножеством.

В случае если подмножество не может быть равным надмножеству, то его называют строгим подмножеством.

$$\begin{gathered} A\subset B \\ \iff \\ \forall a\in A\Rightarrow a\in B \\ A\ne B \end{gathered}$$

Другое

Отношения между множествами можно использовать для доказательства.

Ссылки

• Рассказы о множествах. 3-е издание. Н. Я. Виленкин. МЦНМО. 2005. Глава I. Множества и действия над ними. Подмножества

Ссылки на эту заметку

• Доказательства и отношение между множествами
• Математическая нотация
• Разбиение множеств

Эта заметка на GitHub

Обсудить на форуме