Типы сечений

Сечения бывают трех типов:

В нижнем классе есть наибольший элемент, в верхнем классе нет наименьшего элемента $A = {r \in Q ∣ r \leq 1}; A^{'} = {r \in Q ∣ r > 1}$
В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем классе есть наименьший элемент $A = {r \in Q ∣ r < 1}; A^{'} = {r \in Q ∣ r \geq 1}$
В нижнем классе нет наибольшего элемента, в верхнем классе нет наименьшего элемента $A = {r \in Q ∣ r \leq 0} \cup {r \in Q ∣ r > 0, r^{2} < 2}; A^{'} = {r \in Q ∣ r > 0, r^{2} > 2}$

Доказательство

Сечение в котором одновременно есть наибольший элемент в нижнем классе и наименьший элемент в верхнем классе невозможно.

Предположим что такое сечение существует. Возьмем элементы

$r_{1} \in A$ — наибольший элемент в нижнем классе
$r_{2} \in A^{'}$ — наименьший элемент в верхнем классе

Так как первый элемент из нижнего сечения, а второй из верхнего, то $r_{1} < r_{2}$ .

Возьмем среднее между выбранными числами $r_{0} = \frac{1}{2} (r_{1} + r_{2})$ .

Таким образом $r_{1} < r_{0} < r_{2}$ . Число $r_{0}$ не входит в нижний класс так как больше $r_{1}$ и не входит в верхний класс так как меньше $r_{2}$ , а значит не входит в сечение, но сечение должно включать в себя все рациональные числа.

Доказательство

В третьем типе сечений в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем классе нет наименьшего элемента.

Предположим, что в нижнем классе существует наибольший элемент $r \in A$ . Можно заметить, что найдется число $r + \frac{1}{n}, n \in N$ такое, что

(r + \frac{1}{n})^{2} < 2 \equiv r^{2} + \frac{2 r}{n} + \frac{1}{n ^{2}} < 2

Чтобы упростить выражение, во втором неравенстве заменим $\frac{1}{n ^{2}}$ на $\frac{1}{n}$ . Таким образом левая часть будет увеличена и если получившееся неравенство будет верным, то исходное тоже будет верным.